Wstęp
Zacznijmy od podstawowych koncepcji, żeby było jasne na czym stoimy.
Po pierwsze, primo: nasza percepcja wysokości dźwięku działa logarytmicznie. Oznacza to, że w większości sytuacji myślenie o różnicach i sumach częstotliwości jest bezużyteczne. To, co opisujemy jako “różnice” w wysokościach, w rzeczywistości przekłada się na stosunki (ilorazy?) między częstotliwościami. Kiedy “dodajemy” do siebie półtony czy centy, przekłada się to na mnożenie tych liczbowych stosunków częstotliwości.
Po drugie, primo: uznajemy równoważność oktaw, która jest konceptem występującym praktycznie wszędzie na świecie i wydaje się czymś zupełnie naturalnym. Oktawa oznacza dwukrotność częstotliwości. Równoważność oktaw oznacza, że dźwięki odległe o oktawę uznajemy za tożsame na rzecz wielu rozważań. Dźwięki o częstotliwościach 220 Hz i 440 Hz oba noszą nazwę “A”, podobnie jak 110 Hz czy 880 Hz. Jeśli na weselu wujek zaśpiewa “sto lat” na jednej wysokości, a ciocia równo z nim zaśpiewa wszystko dokładnie oktawę wyżej, uznajemy, że zaśpiewali praktycznie to samo – jest to ta sama melodia w tej samej tonacji, bez żadnego harmonicznego wzbogacenia. Dlatego przy rozważaniu miar interwałów nie wychodzimy poza oktawę. Można to sobie wyobrazić jak cykl na tarczy zegara. Kiedy przekraczamy dwukrotność częstotliwości podstawowej, wracamy do punktu wyjścia. Czyli kiedy jakaś miara przekroczy 2, dzielimy ją przez 2, żeby pozostać w ramach jednej oktawy, i uznajemy, że to dzielenie nic w praktyce nie zmieniło.
Po trzecie, primo – ultimo: używamy współczesnych miar bazujących na współczesnym systemie strojenia. Oznacza to, że dzielimy oktawę na dwanaście równych części nazwanych półtonami, a każdy półton na sto równych części nazwanych centami. Dzielimy? No, nie do końca. Musimy myśleć w mierze logarytmicznej, więc tu, gdzie chcemy coś podzielić na części, musimy tak naprawdę użyć pierwiastka. Półton odpowiada stosunkowi pierwiastka stopnia dwunastego z dwóch (2^(1/12)). Cent – pierwiastka stopnia tysiąc dwusetnego z dwóch (2^(1/1200)). Oktawa mierzy 1200 centów. I te abstrakcyjne centy możemy dodawać i odejmować, po to one są, byleby pamiętać, że potem wynik należy potraktować odpowiednim wykładnikiem, żeby przełożył się na stosunek częstotliwości. Żeby zmierzyć miarę stosunku liczbowego w centach, należy go zlogarytmować przy podstawie równej mierze centa. Odchylenie wysokości mniejsze niż pięć centów ciężko nam usłyszeć jako zmianę, ale przy współbrzmiących dźwiękach może nadal mieć istotne znaczenie.
Pierwsze pomiary
Pierwsze pomiary związane z teorią muzyki w europejskim kręgu kulturowym przypisuje się słynnemu Pitagorasowi z Samos. W rzeczywistości należałoby tu wspomnieć ogólnie pitagorejczyków, Archytasa, Didymosa, różnych mniej i bardziej znanych uczonych. Nie angażowałem się za bardzo w ustalanie, kto faktycznie odpowiada za co.
W każdym razie ktoś tam usiadł do strun i zorientował się, że można uzyskać zgodne współbrzmienia poprzez skracanie strun w prostych stosunkach liczbowych.
Weź dwie struny, takie same, tak samo napięte, ale jedną z nich unieruchom w ustalonym punkcie i szarpnij tylko krótszą część. Jeśli punkt dzieli strunę w połowie, mamy stosunek długości drgających części strun 2:1. Starożytni może niekoniecznie to rozumieli, ale to nam przekłada się na stosunek częstotliwości 1:2. Częstotliwość drgań krótszej struny jest dwukrotnie wyższa niż tej pełnej, a to oznacza dla nas oktawę, a to oznacza świetną zgodność brzmień.
Podział na trzy części da nam stosunek 3:1 lub, po drugiej stronie, 3:2. Stosunek ten, równy oczywiście 1,5, daje w mierze logarytmicznej ok. 702 centy. Ten interwał nazwiemy kwintą i będzie on dla nas najważniejszym tworem przez cały bieg tej historii. Jest drugim najprostszym i najzgodniejszym interwałem po oktawie – a więc pierwszym, jaki generuje nam nowe dźwięki, takie, których nie uznamy za tożsame z punktem odniesienia.
Starożytni ustalili też inne tego typu zgodne interwały. Między innymi 4:3, 498 centów, czyli kwartę, która dopełnia kwintę do oktawy (3:2 * 4:3 = 2, a 702 c. + 498 c.= 1200 c.) i jest drugą stroną tej samej monety. Kolejne były dla nich już mniej ważne, choć dla nas są chlebem powszednim. Mam tu na myśli:
- tercję wielką 5:4 (386 c.), dodającą świeży element do harmonii
- tercję małą 6:5 (316 c.), która dopełnia tercję wielką do kwinty
- sekstę małą 8:5 (814 c.), która jest inwersją tercji wielkiej, czyli jej dopełnieniem do oktawy
- sekstę wielką 5:3 (884 c.), czyli inwersję tercji małej
Okej, po tym wyliczeniu możecie się zorientować, że istnieje istotna tendencja tworzenia stosunków n+1 : n, czyli zawartych między kolejnymi liczbami naturalnymi. Mieliśmy 2:1, 3:2, 4:3, 5:4, 6:5, teraz przyszedł czas na 7:6, który mierzy 267 c.. Jednak tu właśnie przekraczamy pewien próg i robi się wyższa szkoła jazdy. Starożytni nie za bardzo chcieli używać jakichkolwiek czynników pierwszych niż 2 i 3. Później istotny stał się czynnik 5. Ale czynnik 7 nigdy nie nabrał porównywalnej wagi, a już na pewno nie interwał 7:6. Interwały 7:5 (583 c.) i 7:4 (969 c.) mają sens dla znanej nam harmonii, ale i tak są rzadko spotykane i pojawiły się raczej bliżej naszych czasów w użyciu.
Wejdźmy w matematykę. Używamy trzech liczb otwierających listę liczb pierwszych: 2, 3 i 5. Mnożąc je i dzieląc, możemy budować stosunki, z którymi powiążemy muzyczne interwały. To będzie system 5-limit, czyli korzystający ze stosunków liczb naturalnych o najwyższym czynniku pierwszym równym 5. Właściwie, to z piątki możemy zrezygnować, 2 i 3 wystarczyły starożytnym. To będzie system 3-limit, który praktycznie zawsze jest nazywany strojem pitagorejskim. Ile liczb wymiernych możemy zbudować z tych dwóch czynników? Osoba bez rozgarnięcia matematycznego może się nabrać i pomyśleć, że to jakieś ograniczenie, ale nie: możemy stworzyć nieskończoność różnych stosunków i z dowolną dokładnością przybliżyć dowolny wybrany. Ale tego nie robimy.
Komat pitagorejski i zestaw dwunastu dźwięków
Skoro ograniczyliśmy się tylko do czynników 3 i 2, które zdominowały muzyczny świat starożytnych Greków, to w praktyce mamy tylko dwa ruchy: pomnożyć razy 3:2 (dodać kwintę) lub podzielić przez 3:2 (odjąć kwintę). To drugie oznacza, że od razu wyjdziemy od dołu poza oktawę, więc mnożymy razy 2 i okazuje się, że dodaliśmy kwartę, bo pomnożyliśmy razy 4:3. Ale dwa ruchy się znoszą, więc chcemy iść tylko w jednym kierunku. Dodawajmy kolejne kwinty do siebie. Kiedy przekroczymy oktawę, czyli dwukrotność, dzielimy przez dwa, żeby wrócić do obszaru rozpatrywanego.
- 3^0 : 2^0 – 0 c.
- 3^1 : 2^1 – 702 c.
- 3^2 : 2^3 – 204 c.
- 3^3 : 2^4 – 906 c.
- 3^4 : 2^6 – 408 c.
- 3^5 : 2^7 – 1110 c.
- 3^6 : 2^9 – 612 c.
- 3^7 : 2^11 – 114 c.
- 3^8 : 2^12 – 816 c.
- 3^9 : 2^14 – 318 c.
- 3^10 : 2^15 – 1020 c.
- 3^11 : 2^17 – 522 c.
- 3^12 : 2^19 – 23 c.
I tutaj mówimy stop. A raczej, starożytni powiedzieli. Interwał 23 centów jest zbyt mały, żeby mógł być uznany za użyteczny. Po dwunastu kwintowych krokach wróciliśmy do punktu wyjścia, tylko że z lekkim odstrojeniem, z matematyczną niedoskonałością. Dwanaście kwint jest prawie tożsamych z siedmioma oktawami. Dla uproszczenia spraw uznaliśmy tu więc, że zamknęliśmy krąg i więcej wysokości nie potrzeba. Moglibyśmy jeszcze od punktu wyjścia pójść w drugim kierunku, ale ze względu na naturę tych ruchów, po prostu zbieglibyśmy się w innym punkcie – i przy tworzeniu takiego systemu często się na to decydujemy, żeby mieć do dyspozycji czystszą wersję kwarty, czyli 4:3 zamiast 3^11 : 2^17.
Tę małą różnicę 23 centów między dwunastoma kwintami a siedmioma oktawami nazywamy komatem pitagorejskim. Komatami ogółem będziemy nazywać tego typu drobne odstrojenia zawarte między jedną a drugą wersją jakiegoś interwału.
I przez wieki nikt nie walczył z komatem pitagorejskim. Wszyscy kochali pitagorejską koncepcją strojenia instrumentów i głosów w oparciu o nakładane na siebie kwinty. Ale pojawił się inny problem.
Komat syntoniczny
Pamiętacie interwał o stosunku 5:4, tercję wielką mierzącą 386 centów? Starożytni jej nie lubili, ale średniowieczni uczeni i muzycy już bardziej. To kluczowy składnik tego, co znamy jako akord durowy. Piękny dodatek do harmonii.
W systemie pitagorejskim nie możemy mieć stosunku 5:4. Po zamknięciu się do dwunastu kroków okazuje się, że przybliżamy go jedynie tzw. ditonem pitagorejskim o stosunku 81:64, który mierzy 408 centów, więc jest wyraźnie “wyższy” od oryginału. Jest wyższy dokładnie o stosunek 81:80, który nazwiemy komatem syntonicznym. Niektórym to odstrojenie się nie podobało i zostały podjęte próby walki z tym.
Stroje średniotonowe a.k.a. temperacje mezotoniczne
Tu wchodzimy w świat dziwnych prób mariażu pitagorejskiej metody konstrukcji skal z możliwością używania czystych interwałów jak 5:4 czy 6:5. Nadal więc nakładamy na siebie tylko kwinty i nadal poprzestajemy na dwunastu dźwiękach, bo potem weszlibyśmy w bezużytecznie małe stosunki. Co nam pozostaje? Odstroić kwintę.
To, co było największą siłą systemu pitagorejskiego, czyli idealnie zgodne brzmienie kwinty, na której bazujemy, porzucamy na rzecz innych korzyści.
Przybliżaliśmy tercję wielką przez nabudowanie czterech kwint, przy czym dwa razy trzeba było obniżyć oktawę. Skoro chcemy stosunku 5:4, ale szukamy dwie oktawy wyżej, to dążymy po prostu do liczby 5. Skoro cztery identyczne kwinty przemnożone przez siebie mają nam dać 5, to stosunek odpowiadający takiej kwincie równy będzie pierwiastkowi czwartego stopnia z 5. Interwał taki mierzy 697 centów, więc jest nieco obniżony względem kwinty. Strój oparty o ten stosunek nazwiemy ćwierćkomatowym strojem średniotonowym (quarter-comma meantone temperament).
J.S. Bachowi często przypisuje się korzystanie ze współczesnej równomiernej temperacji, ale to prawdopodobnie zupełna nieprawda. “Well temperament”, z którego korzystał Bach, był najprawdopodobniej jednym z tworów Werckmeistera, gdzie łączono głównie cechy stroju ćwierćkomatowego z innymi koncepcjami. To już strasznie zawiły koncept, który próbował odpowiadać na kolejny problem.
Asymetria
Ograniczyliśmy się do dwunastu tonów. Niezależnie od tego, czyli pracujemy w 3-lim, 5-lim, temperacji mezotonicznej czy którymś z podobnych dawnych systemów, najczęściej spotkamy pewien problem. Instrument jest nastrojony z myślą o konkretnym punkcie odniesienia. Jeśli gramy w tonacji związanej z tym punktem odniesienia lub w którejś z blisko pokrewnych, mamy pożądane brzmienie harmonii. Ale kiedy opuścimy ten krąg…
Cóż, załóżmy, że nastroiliśmy organy z myślą o tonacji C-dur. Dodamy sobie czarne klawisze, które mają być czasem użyte ze względu na pokrewne tonacje (żaden problem dodać F♯ i B♭ a.k.a. B z myślą o sąsiednich tonacjach G-dur i F-dur) albo jakiegoś rodzaju zapożyczenia (G♯ dla naszej równoległej tonacji A-moll w wariancie harmonicznym). Ale czy robimy to przez kwintowe kroki, czy przez szukanie naturalnych stosunków, jesteśmy niejako zakotwiczeni w C. Co jeśli zechcemy zagrać w odległej tonacji?
Weźmy popularną ćwierćtonową temperacją mezotoniczną, opisaną przed chwilą. Powiedzmy, że C to stosunek 1:1, ale zrobiliśmy od C dwa kroki w dół (żeby mieć sensowne F i B♭) i dziewięć kroków w górę (kolejno G, D, A, E, B, F♯, C♯, G♯, D♯ – kolejny dźwięk, nazwany tu A♯, byłby dość podobny do B♭ i przekroczylibyśmy limit dwunastu dźwięków w oktawie).
W tonacji C-dur chcemy przede wszystkim akordów C-dur, F-dur i G-dur. Jak będą wyglądać? Cóż, w każdym z nich pojawia się kwinta mierząca 697 centów i tercja wielka mierząca idealne 386 centów. Nieźle!
Ale niestety wokalista zażądał, żebyśmy grali dokładnie pół tonu wyżej, czyli w tonacji C♯-dur. Jak będą wyglądać nasze akordy teraz? Okazuje się, że dla każdego akordu przekraczamy ten punkt na kręgu, gdzie wszystko nam się rozstraja. Kwinty pozostały tu jeszcze równe 697, ale każda tercja akordu urosła do poważnie zawyżonego poziomu 427 c., co jest słyszalnym, poważnym fałszem. A przy wybiegach w jeszcze dalsze tonacje, także kwinta nam się zawyży do paskudnego rozmiaru 738 centów.
Tu zachodzi przeskok na komacie pitagorejskim, a raczej jego odstrojonym odpowiedniku wynikającym z odstrojenia kwinty. W innych przypadkach pojawią się inne problemy. Wystarczy, że w prostym wariancie naturalnego stroju 5-lim zdefiniuję dźwięk D jako 9:8 względem C, a F jako 4:3 względem C. Chciałbym między D i F mieć tercję małą, która idealnie powinna odpowiadać stosunkowi 6:5, mierzyć 316 centów. Zamiast tego uzyskam tu stosunek 32:27, mierzący 294 centy. Żegnaj, akordzie D-moll. Musieliśmy się ciebie pozbyć, bo brzmiałeś okropnie z tym pitagorejskim interwałem. A nawet nie wchodziliśmy w odległe tonacje.
Z rozwojem harmonii w praktyce muzycznej pojawiła się potrzeba korzystania z wszelkich akordów, jakie można było złożyć, a które wcześniej brzmiały źle. Trzeba było pozbyć się niejednolitości, nawet kosztem perfekcji tych pierwotnych idealnych interwałów.
Równomierna temperacja
Chcemy mieć w oktawie dwanaście dźwięków, bo tak było od Pitagorasa, i chcemy, żeby wszystkie warianty danego interwału były identyczne, bo tego chcą muzycy? Podzielmy po prostu oktawę na dwanaście części. Mamy półton 100 centów i jego wielokrotności. Koniec. Ten system był znany już długo wcześniej, ale spopularyzował się gdzieś tak w XIX wieku. Masowa produkcja instrumentów miała tu sporo do gadania.
Można to traktować jako kolejną temperację pitagorejskiego systemu. Odstrajamy kwintę tak, żeby pozbyć się komatu – ale pitagorejskiego, a już nie syntonicznego. Dzięki temu odstrojeniu, po dwunastu kwintowych krokach wrócimy idealnie do punktu wyjścia. Znika przeskok na tarczy zegara. Znikają nierówności.
Nasza piękna tercja wielka urosła z 386 centów do równych 400, jej stosunek to teraz pierwiastek stopnia trzeciego z dwóch. Brzmi mniej zgodnie niż powinna. Ale okazuje się, że my, osoby wychowane w XX i XXI wieku, jesteśmy tak bardzo przyzwyczajone do tego, że właściwie wolimy ją niż idealne 5:4. Naturalny stosunek jest zgodny, ale słyszymy go jako niedostrojony, zaniżony, zbyt toporny. Delikatny dysonans równomiernie temperowanej tercji wielkiej dodaje jej bogactwa, oznacza więcej składowych harmonicznych, które wibrują ze sobą w dudnieniach i traktujemy je jako coś normalnego.
Przyszłość
Mamy elektroniczne instrumenty i stroiki. W odpowiednim DAW z odpowiednimi VST wystarczy parę kliknięć, żeby bawić się przestrojonymi instrumentami. To oznacza, że nie musimy już przejmować się ograniczeniem do dwunastu dźwięków – w zasięgu ręki mamy furtkę pozwalającą wyjść poza wszelkie praktyczne ograniczenia i bawić się brzmieniami interwałów bardziej swobodnie, niż kiedykolwiek w przeszłości. Niektórzy ludzie konstruują gitary z mikrotonalnymi układami progów na gryfie, istnieją nawet ruchome progi. Wokalista, skrzypek czy osoba grająca na bezprogowym basie może łatwo wygenerować sobie dźwięki do słuchawek, z którymi się swobodnie zestroi swoim naturalnym dźwiękiem. Osobiście bardzo liczę na to, że mikrotonalna muzyka wykraczająca poza utarte szlaki stanie się chociaż trochę popularna i że muzycy w rodzaju Sevisha, Zheanny Rose czy Tolgahana Çoğulu zdobędą rozpoznawalność poza skrajnie małą niszą teoretyków.
Tu chciałbym przedstawić dziką koncepcję strojenia, która szalenie mi się spodobała, a która byłaby trudna do opanowania na tradycyjnych fortepianach czy innych instrumentach: równomierny podział oktawy na 53 części.
Dlaczego dzielimy na 12? Bo komat pitagorejski. Dlaczego komat pitagorejski? Bo po dwunastu kwintach zyskujemy przybliżenie pełnej liczby oktaw.
Ale co jeśli pójdziemy dalej? Czemu sytuacja zbliżenia się do punktu wyjścia miałaby się nie powtórzyć?
Oczywiście, że się powtarza, i tu przybliżenie okazuje się nawet lepsze. 53 kwinty okazują się być bardzo blisko do 31 oktaw. Różnicę nazywamy komatem Mercatora (nie tego od map, a innego, Nicholasa Mercatora) i odpowiada ona stosunkowi (3^53):(2^84), co przekłada się na zaledwie 3,62 centa! Temperujemy więc kwintę o śmiesznie małą różnicę, żeby się tego komatu zupełnie pozbyć. Używamy kwinty o stosunku równym 2^(31/53):1, która jest na ucho zasadniczo nieodróżnialna od naturalnej 3:2, też mierząc w przybliżeniu 702 centy.
Pojedynczy krok w 53-stopniowym systemie ma miarę 2^(1/53):1, czyli ok. 1,0132 : 1, co przekłada się na niecałe 23 centy. Tak, używamy tu “klawiszy” odległych o interwał praktycznie równy komatowi pitagorejskiemu, temu samemu, który wcześniej zmotywował nas, że nie trzeba nam już więcej dźwięków niż 12.
17 stopni da nam świetną tercję wielką o mierze 385 centów. 14 stopni tercję małą 317 centów. Znakomite przybliżenia naturalnych interwałów przy jednoczesnym udostępnieniu nam pełnej symetrii przy wychodzeniu w odległe tonacje. Skoro obie tercje świetnie stroją, to ich inwersje, czyli seksty, również będą. Zależnie od potrzeb mamy do dyspozycji całą gamę sekund, trytonów i septym.
Z jednej strony to oczywiste, że jeśli weźmiemy ponad czterokrotnie więcej dźwięków, to zwiększona rozdzielczość pozwoli na lepsze przybliżanie wszelkich pożądanych wysokości. A jednak widzę konkretnie w 53-EDO wspaniałą elegancję… Choć nadal jestem zwolennikiem otwarcia się na nieskończoność interwałów opartych na wymiernych stosunkach.
To tyle. Dzięki.